Sum of cube of first n natural numbers is the square of the sum of first n natural numbers !!

Proof for (Simple Try) !!
^{Sum of cube of first n natural numbers is the square of the sum of first n natural numbers !!}

1³+2³ + 3³+ … +n³ = (1 + 2 + 3+...+n) ² 

As we know the simple formula
----------------------------------

(a + b) ² = a² + 2*ab + b ²

(a + b + c) ² = a²+ b²+ c ²+ 2 (ab + ac 
                                                    + bc)

(a + b + c + d) ²= a²+ b²+c²+ d²+ 
                                                     2(ab + ac + ad 
                                                             + bc + bd 
                                                                     + cd )

The above algebric formula has some pattern ( marked as bold) .. 2 ( a (b+c+d) + b (c+d) + cd))

Now let us look into (1 + 2 … + n) ²

(1 + 2 … + n) ^{2   =} 
             
           1²+ 2² + 3² .. + n² + 2*{1(2+3+4..n) + 2 (3+4+...+n) + ... (n-1)(n)}

             

 (1 + 2 … + n) ²= 
                             1²+ 2² + 3² .. + n² +  2*{1*2 + 1*3 + 1*4 + …+ 1*n

                                           + 2*3 + 2*4+ … + 2*n

                                                    + 3*4+…. + 3*n

                                                             +…..+ (n-1) (n)}

Consider the violet terms, this can be written as

2 * 1 + 3 (1+2) + 4 (1+2+3) + …+ (n)(1+2+…(n-1))

using some of first n terms formula ... ( n * (n+1) / 2)) 

The above terms can be rewritten as

2 + 3(2 * 3/2) + 4(3*4/2) + 5(4*5/2) + …. +n((n-1)n/2))

After simplifying, This can be written as

(1 + 2 … + n) ²= 1²+ 2² + 3² … + n² + 2 {2 + 3(2*3/2) + 4 (3*4/3) + ….. n ((n-1) (n/2)}

                          = 1²+ 2² + 3² … + n² + {1*2²+2*3² + 3*4²….+ (n-1)n²}

                          = 1²+ 2² + 3² … + n² + 2^{2 +} 2*3² + 3*4² + ... + (n-1)n² 

upon rearranging the terms

                           = 1²+ (2² +  2²) + (3² + 2*3²) + … + ((n-1)n² + n²) 

                            = 1²+ (2 * 2² ) + ( 3 * 3²) + … + (n* n²) 

                            =1³+ 2 ³+ …+ n ³  

                

(1 + 2 + 3 … +n) ² = 1³+ 2 ³+ … +n ³          

                                              

Change LHS to RHS and vice –versa

1³+ 2 ³+ … +n³    =    (1 + 2 + 3 … +n) ²

FROM the induction ( 1 + 2 + 3 … n ) = ( n (n+1) / 2 ) the above equation can be written as

1³+ 2 ³+ … n³     =    (n (n+1)/ 2) ²